La Réunion, mars 2023

Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. On suppose que chaque client achète un seul matelas. On dispose des informations suivantes :

• 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat ;
  
• 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.
  

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les événements :

• \(\text R\) : « Le client achète un matelas RESSORTS » ;
  
• \(\text S\) : « Le client est satisfait de son achat ».
  

On note `x=P_{\overline{R}}(S)` , où  `P_{\overline{R}}(S)` désigne la probabilité de \(\text S\) sachant que \(\text R\) n’est pas réalisé.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

2. Démontrer que \(x=0,8\) .
3. On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à `10^(-2)` .

Partie B

1. On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire  \(X\)  qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
    a. On admet que \(X\)  suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
    b. Déterminer la probabilité qu’au plus 3 clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à  `10^(-3)` .
2. Soit  \(n\) un entier naturel non nul. On choisit à présent \(n\) clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
    a. On note  `p_n` la probabilité que les \(n\) clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que `p_n=0,82^n` .
    b. Déterminer les entiers naturels \(n\) tels que `p_n<0,01` . Interpréter dans le contexte de l’exercice.