La Réunion, mars 2023

Un commerçant vend deux types de matelas : matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. On suppose que chaque client achète un seul matelas. On dispose des informations suivantes :

• 20 % des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat ;
  
• 82 % des clients sont satisfaits de leur achat.
  

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les événements :

• $\text{R}$ : « Le client achète un matelas RESSORTS » ;
  
• $\text{S}$ : « Le client est satisfait de son achat ».
  

On note $x=P_{\bar{R}}(S)$ , où  $P_{\bar{R}}(S)$ désigne la probabilité de $\text{S}$ sachant que $\text{R}$ n’est pas réalisé.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

2. Démontrer que $x=0,8$ .
3. On choisit un client satisfait de son achat. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ? On arrondira le résultat à ${10}^{(}-2)$ .

Partie B

1. On choisit 5 clients au hasard. On considère la variable aléatoire  $X$  qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
    a. On admet que $X$  suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
    b. Déterminer la probabilité qu’au plus 3 clients soient satisfaits de leur achat. On arrondira le résultat à  ${10}^{(}-3)$ .
2. Soit  $n$ un entier naturel non nul. On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
    a. On note  $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat. Démontrer que $p_n=0,{82}^n$ .
    b. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n<0,01$ . Interpréter dans le contexte de l’exercice.